内容紹介
目次
第1章 高等学校で学んだ数学の復習
―活用できるツールは何でも使おう―
1.1 身近な関数を近似しよう
1.1.1 サイン関数の近似
1.1.2 マクローリン展開とテイラー展開
1.2 複素数を活用しよう
1.2.1 虚数単位iとオイラーの公式
1.2.2 複素平面と極形式
1.2.3 複素平面と単振動
1.3 よく使う初等関数をおさらいしよう
1.3.1 関数と逆関数
1.3.2 指数関数
1.3.3 対数関数
1.3.4 三角関数
第2章 ベクトル
―現象をデッサンするツール―
2.1 ベクトルの基礎知識
2.2 ベクトルの成分と正射影
2.3 ベクトル同士の積
2.3.1 スカラー積A・B
2.3.2 ベクトル積A×B
第3章 微 分
―ローカルな変化をみる顕微鏡―
3.1 常微分
3.1.1 1変数関数の微分
3.1.2 接線と導関数
3.1.3 1変数の合成関数の
微分公式
3.1.4 対数微分法
3.1.5 逆関数の微分
3.2 偏微分
3.2.1 多変数関数の微分
3.2.2 偏微分の定義
3.2.3 接平面と偏導関数
3.2.4 合成関数の偏微分公式
3.3 全微分
3.3.1 2変数関数の全微分
3.3.2 2変数関数のテイラー展開
3.4 ベクトル関数の微分
第4章 積 分
―グローバルな情報をみる望遠鏡―
4.1 1変数の積分
4.1.1 不定積分と定積分の違い
4.1.2 部分積分法
4.1.3 置換積分法
4.2 多重積分
4.2.1 2重積分
4.2.2 ヤコビアン
4.3 線積分
4.3.1 スカラー関数の線積分
4.3.2 ベクトル関数の線積分
4.4 面積分
4.4.1 スカラー関数の面積分
4.4.2 ベクトル関数の面積分
第5章 微分方程式
―数学モデルをつくるツール―
5.1 微分方程式とは?
5.1.1 微分方程式のあらまし
5.1.2 一般解と解曲線
5.2 変数分離法
5.2.1 変数分離型の方程式
5.2.2 同次型の微分方程式
5.3 積分因子法
5.3.1 線形の微分方程式
5.3.2 完全型の微分方程式
5.4 物理・工学への応用問題
第6章 2階常微分方程式
―振動現象を表現するツール―
6.1 階数の引き下げ
6.2 定数変化法
6.2.1 基本的な考え方
6.2.2 2階線形微分方程式
6.3 指数関数解
6.3.1 定数係数の線形同次方程式
6.3.2 特性方程式と解のパターン
6.3.3 定数係数の非同次方程式
6.4 物理・工学への応用問題
第7章 偏微分方程式
―時空現象を表現するツール―
7.1 偏微分方程式とは?
7.2 波動方程式
7.3 熱伝導方程式
7.4 ラプラス方程式とポアソン方程式
7.5 物理・工学への応用問題
第8章 行 列
―情報を整理・分析するツール―
8.1 行列と行列式
8.1.1 行列の計算法
8.1.2 行列式の計算法
8.1.3 行列式の性質
8.2 クラメルの公式で連立1次方程式を解く
8.3 線形変換
8.3.1 線形変換とは?
8.3.2 線形変換は何に使う?
8.4 固有値と固有ベクトル
8.4.1 固有値を求めよう
8.4.2 固有ベクトルを求めよう
8.4.3 図形による固有値方程式
λv = Avの解釈
8.5 微分方程式と固有値問題
8.5.1 固有値方程式
8.5.2 行列の対角化と微分方程式
8.6 物理・工学への応用問題
第9章 ベクトル解析
―ベクトル場の現象を解析するツール―
9.1 ベクトル場とスカラー場の違い
9.1.1 天気図と気圧配置図
9.1.2 ナブラ演算子がすべてを生み出す
9.2 スカラー場φの勾配∇φ
9.2.1 勾配で何がわかる?
9.2.2 等高線と等位面と
ポテンシャル
9.3 ベクトル場Aの発散∇・A
9.3.1 発散で何がわかる?
9.3.2 定常流に基づく発散の導出
9.4 ベクトル場Aの回転∇×A
9.4.1 回転で何がわかる?
9.4.2 回転成分(∇×A)zの図形的な意味
9.5 ラプラシアン∇・∇
9.5.1 ラプラシアンで何がわかる?
9.5.2 物理法則とラプラシアンの符号
9.6 2つの積分定理
9.6.1 発散定理
9.6.2 ストークスの定理
9.7 物理・工学への応用問題
第10章 フーリエ級数・フーリエ積分・フーリエ変換
―周期的な現象を分析するツール―
10.1 フーリエ級数と周期現象
10.1.1 フーリエ級数展開
10.1.2 単位がラジアンでない周期のフーリエ級数
10.1.3 余弦級数と正弦級数
10.2 複素フーリエ級数
10.3 フーリエ積分と非周期現象
10.3.1 なぜ級数から積分に?
10.3.2 フーリエ積分の導出
10.4 フーリエ変換とパワー・スペクトル
10.4.1 フーリエ変換
10.4.2 パワー・スペクトル
10.5 物理・工学への応用問題
問題の解答
さらに勉強する人へ
索 引
―活用できるツールは何でも使おう―
1.1 身近な関数を近似しよう
1.1.1 サイン関数の近似
1.1.2 マクローリン展開とテイラー展開
1.2 複素数を活用しよう
1.2.1 虚数単位iとオイラーの公式
1.2.2 複素平面と極形式
1.2.3 複素平面と単振動
1.3 よく使う初等関数をおさらいしよう
1.3.1 関数と逆関数
1.3.2 指数関数
1.3.3 対数関数
1.3.4 三角関数
第2章 ベクトル
―現象をデッサンするツール―
2.1 ベクトルの基礎知識
2.2 ベクトルの成分と正射影
2.3 ベクトル同士の積
2.3.1 スカラー積A・B
2.3.2 ベクトル積A×B
第3章 微 分
―ローカルな変化をみる顕微鏡―
3.1 常微分
3.1.1 1変数関数の微分
3.1.2 接線と導関数
3.1.3 1変数の合成関数の
微分公式
3.1.4 対数微分法
3.1.5 逆関数の微分
3.2 偏微分
3.2.1 多変数関数の微分
3.2.2 偏微分の定義
3.2.3 接平面と偏導関数
3.2.4 合成関数の偏微分公式
3.3 全微分
3.3.1 2変数関数の全微分
3.3.2 2変数関数のテイラー展開
3.4 ベクトル関数の微分
第4章 積 分
―グローバルな情報をみる望遠鏡―
4.1 1変数の積分
4.1.1 不定積分と定積分の違い
4.1.2 部分積分法
4.1.3 置換積分法
4.2 多重積分
4.2.1 2重積分
4.2.2 ヤコビアン
4.3 線積分
4.3.1 スカラー関数の線積分
4.3.2 ベクトル関数の線積分
4.4 面積分
4.4.1 スカラー関数の面積分
4.4.2 ベクトル関数の面積分
第5章 微分方程式
―数学モデルをつくるツール―
5.1 微分方程式とは?
5.1.1 微分方程式のあらまし
5.1.2 一般解と解曲線
5.2 変数分離法
5.2.1 変数分離型の方程式
5.2.2 同次型の微分方程式
5.3 積分因子法
5.3.1 線形の微分方程式
5.3.2 完全型の微分方程式
5.4 物理・工学への応用問題
第6章 2階常微分方程式
―振動現象を表現するツール―
6.1 階数の引き下げ
6.2 定数変化法
6.2.1 基本的な考え方
6.2.2 2階線形微分方程式
6.3 指数関数解
6.3.1 定数係数の線形同次方程式
6.3.2 特性方程式と解のパターン
6.3.3 定数係数の非同次方程式
6.4 物理・工学への応用問題
第7章 偏微分方程式
―時空現象を表現するツール―
7.1 偏微分方程式とは?
7.2 波動方程式
7.3 熱伝導方程式
7.4 ラプラス方程式とポアソン方程式
7.5 物理・工学への応用問題
第8章 行 列
―情報を整理・分析するツール―
8.1 行列と行列式
8.1.1 行列の計算法
8.1.2 行列式の計算法
8.1.3 行列式の性質
8.2 クラメルの公式で連立1次方程式を解く
8.3 線形変換
8.3.1 線形変換とは?
8.3.2 線形変換は何に使う?
8.4 固有値と固有ベクトル
8.4.1 固有値を求めよう
8.4.2 固有ベクトルを求めよう
8.4.3 図形による固有値方程式
λv = Avの解釈
8.5 微分方程式と固有値問題
8.5.1 固有値方程式
8.5.2 行列の対角化と微分方程式
8.6 物理・工学への応用問題
第9章 ベクトル解析
―ベクトル場の現象を解析するツール―
9.1 ベクトル場とスカラー場の違い
9.1.1 天気図と気圧配置図
9.1.2 ナブラ演算子がすべてを生み出す
9.2 スカラー場φの勾配∇φ
9.2.1 勾配で何がわかる?
9.2.2 等高線と等位面と
ポテンシャル
9.3 ベクトル場Aの発散∇・A
9.3.1 発散で何がわかる?
9.3.2 定常流に基づく発散の導出
9.4 ベクトル場Aの回転∇×A
9.4.1 回転で何がわかる?
9.4.2 回転成分(∇×A)zの図形的な意味
9.5 ラプラシアン∇・∇
9.5.1 ラプラシアンで何がわかる?
9.5.2 物理法則とラプラシアンの符号
9.6 2つの積分定理
9.6.1 発散定理
9.6.2 ストークスの定理
9.7 物理・工学への応用問題
第10章 フーリエ級数・フーリエ積分・フーリエ変換
―周期的な現象を分析するツール―
10.1 フーリエ級数と周期現象
10.1.1 フーリエ級数展開
10.1.2 単位がラジアンでない周期のフーリエ級数
10.1.3 余弦級数と正弦級数
10.2 複素フーリエ級数
10.3 フーリエ積分と非周期現象
10.3.1 なぜ級数から積分に?
10.3.2 フーリエ積分の導出
10.4 フーリエ変換とパワー・スペクトル
10.4.1 フーリエ変換
10.4.2 パワー・スペクトル
10.5 物理・工学への応用問題
問題の解答
さらに勉強する人へ
索 引
◇本書の特徴◇
・高等学校で学ぶ数学の中で,物理や工学分野の数学ツールとして活用できる項目を厳選した.
・大学で学ぶ数学との関連を重視しながら,具体的な問題に数学ツールを適用する方法を直観的にわかるように図や例題を豊富に取り入れた.
・学習者へのコメントや理解を促すためのヒントなどを「ひとくちメモ」として入れた.